PCSX

PCSX es un emulador de la consola PlayStation de Sony para PC. El principal desarrollador de este programa fue Linuzappz, el mismo programador que inició el proyecto de PCSX2. Los códigos fuente del emulador se encuentran disponibles en la página oficial del mismo.

El desarrollo empezó el 31 de agosto del 2000. La última versión disponible es la 1.5 y puede ejecutar juegos comerciales; sin embargo, el desarrollo del proyecto fue abandonado por Linuzappz el 17 de septiembre de 2003 y la mayoría de los desarrolladores migraron a su proyecto hermano, emulador de PS2, PCSX2

En 2006 un grupo de fanáticos creó Pcsx-df (una versión modificada) que implementó nuevas características y corrigió varios bugs, pero solo lo desarrollaron (y lo desarrollan) para GNU/Linux quitándole la compatibilidad con Windows que antes tenía.

A base de la versión 1.9 de esta modificación se creó Pcsx-Reloaded(Abreviado pcsx-r) que también agregó nuevas mejoras y corrigió errores, además mantuvo la compatibilidad con Windows, GNU/Linux, Mac Os X football uniform creator, y agregó compatibilidad a varias plataformas más como Wii, Ps3, y Blackberry. Actualmente es una beta avanzada que se actualiza regularmente cada varios meses pero se crean builds SVN casi a diario. Es considerada el sucesor del proyecto original en internet.

Ambas versiones actualmente se desarrollan en paralelo, con ocasional cooperación entre ambas.

La página oficial del emulador fue cerrada por lo que actualmente no puede descargarse ninguna versión desde ahí, pero si desde otras páginas (Mirror), Además de las ya mencionadas nuevas versiones.

PCSX, y sus Forks funcionan de igual manera que PCSX2 empleando, de manera similar a ePSXe, una tecnología basada en plugins o extensiones (heredada de PSEmu PRO) (que se pueden conseguir en internet o usar los que el emulador provee por defecto) para el manejo de gráficos, sonido,mando, unidad de CD-ROM y PlayStation Link Cable. Los controladores que se encargan de emular las ranuras para Memory Card y la Bios de la consola son proporcionados por el emulador, aunque cabe aclarar que la versión por defecto (suministrada por el emulador) de esta última es solamente simulada por lo que se recomienda conseguir el archivo de bios desde otra fuente.

El emulador es capaz de emular juegos comerciales casi perfectamente whole foods glass water bottle, con algún glitch o bug ocasional, en ordenadores de hace varios años, a velocidad jugable(más de 30 Fps) debido a la antigüedad de la consola y la capacidad de los ordenadores. La velocidad y calidad de la emulación pueden variar dependiendo de la configuración de los plugins, haciéndolo de perfectamente jugable (incluso mejor que en la consola original debido a los plugins gráficos y de sonido) hasta lento e injugable. Es muy raro y bajo el número de títulos injugables en el emulador aun habiendo probado todas las configuraciones de plugins, dichos juegos suelen trabarse en cierto nivel o mostrar una pantalla negra y detener la emulación al cargar cierta escena o realizar cierta acción.

El mando de Playstation es emulable, tanto con un teclado u otro dispositivo, como con un Gamepad conectado al PC. Para iniciar un juego se requiere la imagen Iso de este o introducir el CD-ROM en la unidad lectora para iniciar, una vez iniciado solo se pueden configurar los plugins de mando, y otras pocas opciones hasta que termine la emulación. En el juego se puede guardar en Memory Card (como en la versión normal) o en cualquier momento con Savestates.

Marguerite Roesgen-Champion

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Marguerite Roesgen-Champion, née le à Genève et morte dans la même ville le (à 82 ans), est une compositrice, pianiste et claveciniste suisse wholesale sock outlet.

Marguerite Roesgen-Champion étudie au Conservatoire de Genève. Dès 1926 sports water bottle online, elle vit en tant que compositrice à Paris. Elle compose des œuvres pour orchestre, des pièces pour clavecin et piano, ainsi que de la musique de chambre et des œuvres chorales.

Elle joue plusieurs concertos pour piano de Mozart et de Haydn ainsi que des compositions pour clavecin de Jean-Henry d’Anglebert et Johann Christoph Friedrich Bach.

Skalarprodukt

Das Skalarprodukt (auch inneres Produkt, selten Punktprodukt) ist eine mathematische Verknüpfung, die zwei Vektoren eine Zahl (Skalar) zuordnet. Es ist Gegenstand der analytischen Geometrie und der linearen Algebra. Historisch wurde es zuerst im euklidischen Raum eingeführt. Geometrisch berechnet man das Skalarprodukt zweier Vektoren








a











{\displaystyle {\vec {a}}}


und








b











{\displaystyle {\vec {b}}}


im dreidimensionalen Anschauungsraum nach der Formel

Dabei bezeichnen






|






a










|





{\displaystyle |{\vec {a}}|}


und






|






b










|





{\displaystyle |{\vec {b}}|}


jeweils die Längen (Beträge) der Vektoren. Mit




cos










(





a









,





b









)


=


cos






φ





{\displaystyle \cos \sphericalangle ({\vec {a}},{\vec {b}})=\cos \varphi }


wird der Kosinus des von den beiden Vektoren eingeschlossenen Winkels





φ





{\displaystyle \varphi }


bezeichnet.

In einem kartesischen Koordinatensystem gilt

Kennt man die kartesischen Koordinaten der Vektoren, so kann man mit dieser Formel das Skalarprodukt und daraufhin mit der Formel aus dem vorhergehenden Abschnitt den Winkel zwischen den beiden Vektoren ausrechnen.

In der linearen Algebra wird dieses Konzept verallgemeinert. Ein Skalarprodukt ist dort eine Funktion, die zwei Elementen eines reellen oder komplexen Vektorraums einen Skalar zuordnet. Im Allgemeinen ist in einem Vektorraum von vornherein kein Skalarprodukt festgelegt. Ein Raum zusammen mit einem Skalarprodukt wird als Innenproduktraum oder Prähilbertraum bezeichnet. Diese Vektorräume verallgemeinern den euklidischen Raum und ermöglichen damit die Anwendung geometrischer Methoden auf abstrakte Strukturen.

Vektoren im dreidimensionalen euklidischen Raum oder in der zweidimensionalen euklidischen Ebene kann man als Pfeile darstellen. Dabei stellen Pfeile, die parallel, gleich lang und gleich orientiert sind, denselben Vektor dar. Das Skalarprodukt








a
















b











{\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}


zweier Vektoren








a











{\displaystyle {\vec {a}}}


und








b











{\displaystyle {\vec {b}}}


ist ein Skalar, das heißt eine reelle Zahl. Geometrisch lässt es sich wie folgt definieren:

Bezeichnen





a


=



|






a










|





{\displaystyle a=|{\vec {a}}|}


und





b


=



|






b










|





{\displaystyle b=|{\vec {b}}|}


die Längen der Vektoren








a











{\displaystyle {\vec {a}}}


und








b











{\displaystyle {\vec {b}}}


und bezeichnet





φ



=






(





a









,





b









)




{\displaystyle \varphi =\sphericalangle ({\vec {a}},{\vec {b}})}


den von








a











{\displaystyle {\vec {a}}}


und








b











{\displaystyle {\vec {b}}}


eingeschlossenen Winkel, so ist

Wie bei der normalen Multiplikation, aber seltener als dort, wird das Multiplikationszeichen manchmal auch weggelassen, wenn klar ist, was gemeint ist:

Statt








a
















a











{\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {a}}}


schreibt man in diesem Fall gelegentlich auch








a












2




.




{\displaystyle {\vec {a}}\,^{2}.}


Andere übliche Notationen sind








a
















b









,


 





a
















b











{\displaystyle {\vec {a}}\circ {\vec {b}},\ {\vec {a}}\bullet {\vec {b}}}


und












a









,





b













.




{\displaystyle \langle {\vec {a}},{\vec {b}}\rangle .}


Um sich die Definition zu veranschaulichen, betrachtet man die orthogonale Projektion









b












a












{\displaystyle {\vec {b}}_{\vec {a}}}


des Vektors








b











{\displaystyle {\vec {b}}}


auf die durch








a











{\displaystyle {\vec {a}}}


bestimmte Richtung und setzt

Es gilt dann






b



a




=


b


cos






φ



,




{\displaystyle b_{a}=b\cos \varphi ,}


und für das Skalarprodukt von








a











{\displaystyle {\vec {a}}}


und








b











{\displaystyle {\vec {b}}}


gilt:

Diese Beziehung wird manchmal auch zur Definition des Skalarprodukts verwendet.

In allen drei Beispielen gilt






|






a










|



=


5




{\displaystyle |{\vec {a}}|=5}


und






|






b










|



=


3




{\displaystyle |{\vec {b}}|=3}


. Die Skalarprodukte ergeben sich mithilfe der speziellen Kosinuswerte





cos







0









=


1




{\displaystyle \cos 0^{\circ }=1}


,





cos







60









=





1


2







{\displaystyle \cos 60^{\circ }={\tfrac {1}{2}}}


bzw.





cos







90









=


0




{\displaystyle \cos 90^{\circ }=0}


:









a












{\displaystyle \scriptstyle {\vec {a}}}


und









b












{\displaystyle \scriptstyle {\vec {b}}}


gleichgerichtet









a
















b









=


5






3






cos







0









=


15





{\displaystyle \scriptstyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=5\cdot 3\cdot \cos 0^{\circ }=15}










a












{\displaystyle \scriptstyle {\vec {a}}}


und









b












{\displaystyle \scriptstyle {\vec {b}}}


im 60°-Winkel









a
















b









=


5






3






cos







60









=


7



,



5





{\displaystyle \scriptstyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=5\cdot 3\cdot \cos 60^{\circ }=7{,}5}


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,}5″>









a












{\displaystyle \scriptstyle {\vec {a}}}


und









b












{\displaystyle \scriptstyle {\vec {b}}}


orthogonal









a
















b









=


5






3






cos







90









=


0





{\displaystyle \scriptstyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=5\cdot 3\cdot \cos 90^{\circ }=0}


Führt man in der euklidischen Ebene bzw. im euklidischen Raum kartesische Koordinaten ein, so besitzt jeder Vektor eine Koordinatendarstellung als 2- bzw. 3-Tupel, das meist als Spalte geschrieben wird.

In der euklidischen Ebene erhält man dann für das Skalarprodukt der Vektoren

die Darstellung

Für die kanonischen Einheitsvektoren









e










1




=




(





1






0





)






{\displaystyle {\vec {e}}_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}


und









e










2




=




(





0






1





)






{\displaystyle {\vec {e}}_{2}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}


gilt nämlich:

Daraus folgt (unter Vorwegnahme der weiter unten erläuterten Eigenschaften des Skalarproduktes):

Im dreidimensionalen euklidischen Raum erhält man entsprechend für die Vektoren

die Darstellung

Zum Beispiel berechnet sich das Skalarprodukt der beiden Vektoren

wie folgt:

Aus der geometrischen Definition ergibt sich direkt:

Als Funktion, die jedem geordneten Paar





(





a









,





b









)




{\displaystyle ({\vec {a}},{\vec {b}})}


von Vektoren die reelle Zahl








a
















b











{\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}


zuordnet, hat das Skalarprodukt folgende Eigenschaften, die man von einer Multiplikation erwartet:

Die Eigenschaften 2 und 3 fasst man auch zusammen zu: Das Skalarprodukt ist bilinear.

Die Bezeichnung “gemischtes Assoziativgesetz” für die 2. Eigenschaft verdeutlicht, dass dabei ein Skalar und zwei Vektoren so verknüpft werden, dass die Klammern wie beim Assoziativgesetz vertauscht werden können. Da das Skalarprodukt keine innere Verknüpfung ist, ist ein Skalarprodukt von drei Vektoren nicht definiert, daher stellt sich die Frage nach einer echten Assoziativität nicht. Im Ausdruck





(





a
















b









)






c











{\displaystyle ({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})\,{\vec {c}}}


ist nur die erste Multiplikation ein Skalarprodukt von zwei Vektoren, die zweite ist das Produkt eines Skalars mit einem Vektor (S-Multiplikation). Der Ausdruck stellt einen Vektor dar, ein Vielfaches des Vektors








c









.




{\displaystyle {\vec {c}}.}


Hingegen stellt der Ausdruck








a










(





b
















c









)




{\displaystyle {\vec {a}}\,({\vec {b}}\cdot {\vec {c}})}


ein Vielfaches von








a











{\displaystyle {\vec {a}}}


dar. Im Allgemeinen gilt also

Weder die geometrische Definition noch die Definition in kartesischen Koordinaten ist willkürlich. Beide folgen aus der geometrisch motivierten Forderung, dass das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst das Quadrat seiner Länge ist, und der algebraisch motivierten Forderung, dass das Skalarprodukt die obigen Eigenschaften 1–3 erfüllt.

Mit Hilfe des Skalarproduktes ist es möglich, aus der Koordinatendarstellung die Länge (den Betrag) eines Vektors zu berechnen:

Für einen Vektor








a









=





(





a



1





a



2






)







{\displaystyle {\vec {a}}={\binom {a_{1}}{a_{2}}}}


des zweidimensionalen Raumes gilt

Man erkennt hier den Satz des Pythagoras wieder. Im dreidimensionalen Raum gilt entsprechend

Indem man die geometrische Definition mit der Koordinatendarstellung kombiniert, kann man aus den Koordinaten zweier Vektoren den von ihnen eingeschlossenen Winkel berechnen. Aus

folgt

Die Längen der beiden Vektoren

betragen also

Der Kosinus des von den beiden Vektoren eingeschlossenen Winkels berechnet sich zu

Somit ist









(





a









,





b









)






46



,




3









.




{\displaystyle \sphericalangle ({\vec {a}},{\vec {b}})\approx 46{,}3^{\circ }.}


Zwei Vektoren








a











{\displaystyle {\vec {a}}}


und








b











{\displaystyle {\vec {b}}}


sind genau dann orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt null ist, also

Die orthogonale Projektion von








b











{\displaystyle {\vec {b}}}


auf die durch den Vektor








a











{\displaystyle {\vec {a}}}


gegebene Richtung ist der Vektor









b












a










=


k





a











{\displaystyle {\vec {b}}_{\vec {a}}=k{\vec {a}}}


mit

also

Die Projektion ist der Vektor, dessen Endpunkt der Lotfußpunkt vom Endpunkt von








b











{\displaystyle {\vec {b}}}


auf die durch








a











{\displaystyle {\vec {a}}}


bestimmte Gerade durch den Nullpunkt ist. Der Vektor








b

















b












a












{\displaystyle {\vec {b}}-{\vec {b}}_{\vec {a}}}


steht senkrecht auf








a









.




{\displaystyle {\vec {a}}.}


Ist








a











{\displaystyle {\vec {a}}}


ein Einheitsvektor (d. h. ist






|






a










|



=


1




{\displaystyle |{\vec {a}}|=1}


), so vereinfacht sich die Formel zu

Eine andere Art und Weise, zwei Vektoren








a











{\displaystyle {\vec {a}}}


und








b











{\displaystyle {\vec {b}}}


im dreidimensionalen Raum multiplikativ miteinander zu verknüpfen, ist das äußere Produkt oder Kreuzprodukt








a









×






b









.




{\displaystyle {\vec {a}}\times {\vec {b}}.}


Im Gegensatz zum Skalarprodukt ist das Resultat des Kreuzprodukts kein Skalar, sondern wieder ein Vektor. Dieser Vektor steht senkrecht auf der von den beiden Faktoren








a











{\displaystyle {\vec {a}}}


und








b











{\displaystyle {\vec {b}}}


aufgespannten Ebene und seine Länge entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen aufgespannt wird.

Für die Verbindung von Kreuz- und Skalarprodukt gelten die folgenden Rechenregeln:

Die Kombination aus Kreuzprodukt und Skalarprodukt der ersten beiden Regeln nennt man auch Spatprodukt; es ergibt das orientierte Volumen des durch die drei Vektoren








a









,





b









,





c











{\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}}


aufgespannten Parallelepipeds.

Das Skalarprodukt ermöglicht es, komplizierte Sätze, bei denen von Winkeln die Rede ist, einfach zu beweisen.

Behauptung: (Kosinussatz)

Beweis: Mit Hilfe der eingezeichneten Vektoren folgt








c









=









b









+





a









.




{\displaystyle {\vec {c}}=-{\vec {b}}+{\vec {a}}.}


(Die Richtung von








c











{\displaystyle {\vec {c}}}


ist unerheblich.) Quadrieren ergibt

und damit

In der Physik sind viele Größen, wie zum Beispiel die Arbeit





W




{\displaystyle W}


, durch Skalarprodukte definiert:

mit den vektoriellen Größen Kraft








F











{\displaystyle {\vec {F}}}


und Weg








s











{\displaystyle {\vec {s}}}


. Dabei bezeichnet





φ





{\displaystyle \varphi }


den Winkel zwischen der Richtung der Kraft und der Richtung des Weges. Mit






F



s






{\displaystyle F_{s}}


wird die Komponente der Kraft in Richtung des Weges bezeichnet, mit





h




{\displaystyle h}


die Komponente des Weges in Richtung der Kraft.

Beispiel: Ein Wagen des Gewichts





F




{\displaystyle F}


wird über eine schiefe Ebene von





A




{\displaystyle A}


nach





B




{\displaystyle B}


transportiert. Die Hubarbeit





W




{\displaystyle W}


berechnet sich zu

Man nimmt die obigen Eigenschaften zum Anlass, den Begriff des Skalarprodukts auf beliebige reelle und komplexe Vektorräume zu verallgemeinern. Ein Skalarprodukt ist dann eine Funktion, die zwei Vektoren ein Körperelement (Skalar) zuordnet und die genannten Eigenschaften erfüllt. Im komplexen Fall modifiziert man dabei die Bedingung der Symmetrie und der Bilinearität, um die Positivdefinitheit zu retten (die für komplexe symmetrische Bilinearformen nie erfüllt ist).

In der allgemeinen Theorie werden die Variablen für Vektoren, also Elemente eines beliebigen Vektorraums, im Allgemeinen nicht durch Pfeile gekennzeichnet. Das Skalarprodukt wird meist nicht durch einen Malpunkt, sondern durch ein Paar von spitzen Klammern bezeichnet. Für das Skalarprodukt der Vektoren





x




{\displaystyle x}


und





y




{\displaystyle y}


schreibt man also









x


,


y








{\displaystyle \langle x,y\rangle }


. Andere gebräuchliche Notationen sind









x



|



y








{\displaystyle \langle x|y\rangle }


(vor allem in der Quantenmechanik in Form der Bra-Ket-Notation),





(


x


,


y


)




{\displaystyle (x,y)}


und





(


x



|



y


)




{\displaystyle (x|y)}


.

Ein Skalarprodukt oder inneres Produkt auf einem reellen Vektorraum





V




{\displaystyle V}


ist eine positiv definite symmetrische Bilinearform















,












:



V


×



V







R



,




{\displaystyle \langle {\cdot },{\cdot }\rangle \colon V\times V\to \mathbb {R} ,}


das heißt für





x


,


y


,


z






V




{\displaystyle x,y,z\in V}


und





λ








R





{\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }


gelten die folgenden Bedingungen:

Ein Skalarprodukt oder inneres Produkt auf einem komplexen Vektorraum





V




{\displaystyle V}


ist eine positiv definite hermitesche Sesquilinearform















,












:



V


×



V







C



,




{\displaystyle \langle {\cdot },{\cdot }\rangle \colon V\times V\to \mathbb {C} ,}


das heißt für





x


,


y


,


z






V




{\displaystyle x,y,z\in V}


und





λ








C





{\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }


gelten die folgenden Bedingungen:

Ein reeller oder komplexer Vektorraum, in dem ein Skalarprodukt definiert ist, heißt Skalarproduktraum oder Prähilbertraum. Ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit Skalarprodukt wird auch euklidischer Vektorraum genannt, im komplexen Fall spricht man von einem unitären Vektorraum. Entsprechend wird das Skalarprodukt in einem euklidischen Vektorraum gelegentlich als euklidisches Skalarprodukt, das in einem unitären Vektorraum als unitäres Skalarprodukt bezeichnet. Die Bezeichnung „euklidisches Skalarprodukt“ wird aber auch speziell für das oben beschriebene geometrische Skalarprodukt oder das weiter unten beschriebene Standardskalarprodukt im







R




n






{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}


benutzt.

Ausgehend von der Darstellung des euklidischen Skalarprodukts in kartesischen Koordinaten definiert man in der linearen Algebra das Standardskalarprodukt im





n




{\displaystyle n}


-dimensionalen Koordinatenraum







R




n






{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}


für





x


,


y








R




n






{\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ^{n}}


durch

Das oben behandelte „geometrische“ Skalarprodukt im euklidischen Raum entspricht so dem Spezialfall





n


=


3.




{\displaystyle n=3.}


Im Fall des





n




{\displaystyle n}


-dimensionalen komplexen Vektorraums







C




n






{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}


definiert man das Standardskalarprodukt für





x


,


y








C




n






{\displaystyle x,y\in \mathbb {C} ^{n}}


durch

wobei der Überstrich die komplexe Konjugation bedeutet. In der Mathematik ist häufig auch die alternative Version gebräuchlich, bei der das zweite Argument statt des ersten konjugiert wird.

Das Standardskalarprodukt im







R




n






{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}


bzw.







C




n






{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}


lässt sich auch als Matrizenprodukt schreiben, indem man den Vektor als





n


×



1




{\displaystyle n\times 1}


-Matrix (Spaltenvektor) interpretiert: Im reellen Fall gilt

wobei







x




T






{\displaystyle {x}^{T}}


der Zeilenvektor ist, der aus dem Spaltenvektor





x




{\displaystyle x}


durch Transponieren hervorgeht. Im komplexen Fall gilt (für den links semilinearen, rechts linearen Fall)

wobei






x



H






{\displaystyle x^{H}}


der zu





x




{\displaystyle x}


hermitesch adjungierte Zeilenvektor ist.

Allgemeiner definiert im reellen Fall jede symmetrische und positiv definite Matrix





A




{\displaystyle A}


über

ein Skalarprodukt; ebenso wird im komplexen Fall für jede positiv definite hermitesche Matrix





A




{\displaystyle A}


über

ein Skalarprodukt definiert. Hier bezeichnen die spitzen Klammern auf der rechten Seite das Standardskalarprodukt, die spitzen Klammern mit dem Index A auf der linken Seite das durch die Matrix





A




{\displaystyle A}


definierte Skalarprodukt.

Jedes Skalarprodukt auf







R




n






{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}


bzw.







C




n






{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}


lässt sich auf diese Art durch eine positiv definite symmetrische Matrix (bzw. positiv definite hermitesche Matrix) darstellen.

Auf dem unendlich-dimensionalen Vektorraum






C



0




(


[


a


,


b


]


,



R



)




{\displaystyle C^{0}([a,b],\mathbb {R} )}


der stetigen reellwertigen Funktionen auf dem Intervall





[


a


,


b


]




{\displaystyle [a,b]}


ist das






L



2






{\displaystyle L^{2}}


-Skalarprodukt durch

für alle





f


,


g







C



0




(


[


a


,


b


]


,



R



)




{\displaystyle f,g\in C^{0}([a,b],\mathbb {R} )}


definiert.

Für Verallgemeinerungen dieses Beispiels siehe Prähilbertraum und Hilbertraum.

Auf dem Matrizenraum







R




m


×



n






{\displaystyle \mathbb {R} ^{m\times n}}


der reellen





(


m


×



n


)




{\displaystyle (m\times n)}


-Matrizen wird für





A


,


B








R




m


×



n






{\displaystyle A,B\in \mathbb {R} ^{m\times n}}


durch

ein Skalarprodukt definiert. Entsprechend wird auf dem Raum







C




m


×



n






{\displaystyle \mathbb {C} ^{m\times n}}


der komplexen





(


m


×



n


)




{\displaystyle (m\times n)}


-Matrizen für





A


,


B








C




m


×



n






{\displaystyle A,B\in \mathbb {C} ^{m\times n}}


durch

ein Skalarprodukt definiert. Dieses Skalarprodukt wird Frobenius-Skalarprodukt genannt und die dazugehörige Norm heißt Frobeniusnorm.

Der Länge eines Vektors im euklidischen Raum entspricht in allgemeinen Skalarprodukträumen die vom Skalarprodukt induzierte Norm. Man definiert diese Norm, indem man die Formel für die Länge aus dem euklidischen Raum überträgt, als die Wurzel des Skalarprodukts des Vektors mit sich selbst:

Dies ist möglich, da









x


,


x








{\displaystyle \langle x,x\rangle }


aufgrund der positiven Definitheit nicht negativ ist. Die als Normaxiom geforderte Dreiecksungleichung folgt dabei aus der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung

Sind





x


,


y






0


,




{\displaystyle x,y\neq 0,}


so kann diese Ungleichung zu

umgeformt werden. Daher lässt sich auch in allgemeinen reellen Vektorräumen mittels

der Winkel





φ





{\displaystyle \varphi }


zweier Vektoren definieren. Der so definierte Winkel liegt zwischen 0° und 180°, also zwischen 0 und





π



.




{\displaystyle \pi .}


Für Winkel zwischen komplexen Vektoren gibt es eine Reihe unterschiedlicher Definitionen.

Auch im allgemeinen Fall nennt man Vektoren, deren Skalarprodukt gleich Null ist, orthogonal:

Ist





V




{\displaystyle V}


ein





n




{\displaystyle n}


-dimensionaler Vektorraum und





B


=


(



b



1




,






,



b



n




)




{\displaystyle B=(b_{1},\dots ,b_{n})}


eine Basis von





V


,




{\displaystyle V,}


so kann jedes Skalarprodukt















,














{\displaystyle \langle {\cdot },{\cdot }\rangle }


auf





V




{\displaystyle V}


durch eine (





n


×



n




{\displaystyle n\times n}


)-Matrix





G


,




{\displaystyle G,}


die Gramsche Matrix des Skalarprodukts, beschrieben werden. Ihre Einträge sind die Skalarprodukte der Basisvektoren:

Das Skalarprodukt lässt sich dann mit Hilfe der Basis darstellen: Haben die Vektoren





x


,


y






V




{\displaystyle x,y\in V}


bezüglich der Basis





B




{\displaystyle B}


die Darstellung

so gilt im reellen Fall

Bezeichnet man mit






x



B




,



y



B










R




n






{\displaystyle x_{B},y_{B}\in \mathbb {R} ^{n}}


die Koordinatenvektoren

so gilt also

wobei das Matrixprodukt eine





(


1


×



1


)




{\displaystyle (1\times 1)}


-Matrix liefert, also eine reelle Zahl goalkeeper jerseys for kids. Mit






x



B








T






{\displaystyle x_{B}{}^{T}}


wird der Zeilenvektor bezeichnet, der durch Transponieren aus dem Spaltenvektor






x



B






{\displaystyle x_{B}}


entsteht.

Im komplexen Fall gilt entsprechend

wobei der Überstrich komplexe Konjugation bezeichnet und






x



B








H






{\displaystyle x_{B}{}^{H}}


der zu






x



B






{\displaystyle x_{B}}


adjungierte Zeilenvektor ist.

Ist





B




{\displaystyle B}


eine Orthonormalbasis, das heißt, gilt










b



i




,



b



i








=


1




{\displaystyle \langle b_{i},b_{i}\rangle =1}


für alle





i




{\displaystyle i}


und










b



i




,



b



j








=


0




{\displaystyle \langle b_{i},b_{j}\rangle =0}


für alle





i






j


,




{\displaystyle i\neq j,}


so ist





G




{\displaystyle G}


die Einheitsmatrix, und es gilt

im reellen Fall bzw.

im komplexen Fall. Bezüglich einer Orthonormalbasis entspricht das Skalarprodukt von






x




{\displaystyle \,x}


und





y






V




{\displaystyle y\in V}


also dem Standardskalarprodukt der Koordinatenvektoren







x



B






{\displaystyle \,x_{B}}


und






y



B










R




n






{\displaystyle y_{B}\in \mathbb {R} ^{n}}


bzw.







C




n




.




{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}